Question

Aplicand metoda inductiei matematice,sa se domenstreze ca pentru orice,n apartine N*,este adevarata propozitia:

a) 1+3+6+...+(2n-1)=$n^{2}$
b)$1^{3}$+$2^{3}+...+ n^{3= \frac{ n^{2} (n+1)^{2} }{4} }$

Answer 1

a) Presupun P(k) adv,demonstrez P(k+1)
P(k)= 1+3+6+...+(2k-1)=k²
P(k+1)=1+3+..+[2(k+1)-1]= (k+1)²  -  notez cu  *
           =P(k)+[2(k+1)-1]
           =k²+(2k+1)
           =k² + 2k + 1  -  notez cu **
*=** (adevarat,daca restrangem ** obtinem binomul (a+b)²  )

b) Presupun P(k) adevarat,demonstrez P(k+1)
P(k)=1³+2³+...+k³=$\frac{ k^{2} (k+1)^{2} }{4}$
P(k+1)= 1³+...+(k+1)³= $\frac{ (k+1)^{2}[(k+1)+1] ^{2} }{4}$ - *
           =P(k)+(k+1)³
           =$\frac{k^{2}(k+1)^{2} }{4}$ + (k+1)³
           =$\frac{ k^{2}(k^{2} +2k+1) }{4}$ + k³+1³+3k(k+1) - dupa ce afli rezultatul final aducand la acelasi numitor,adunand termenii asemenea etc,il notezi cu **
ca sa demonstrezi ca *=**,  la * desfaci parantezele si iti va da la fel