Question

Aplicații:

1) Un trunchi de piramida triunghiulară regulatà are latura bazei mari cu lungimea L 18 cm, latura bazei mici cu lungimea 1-12 cm şi înălțimea 3 cm. Aflaţi: a) Aria bazei mari a trunchiului de piramida este de ..........

b) Apotema bazei mari a trunchiului de piramidă are lungimea.......... e) Apotema bazei mici a trunchiului de piramida are lungimea.....

d) Apotema trunchiului de piramidă are lungimea...........

c) Aria laterală a trunchiului este................

f) Volumul trunchiului este ...

g) inaltimea piramidei din care provine trunchiul de piramidă este...............

Answer 1

L=18 cm

l=12 cm

h=3 cm

Avem urmatoarele formule:

$A_b=\frac{l^2\sqrt{3} }{4} \\\\A_B=\frac{L^2\sqrt{3} }{4}$

$P_b=3l\\\\P_B=3L$

$A_l=\frac{(P_b+P_B)\times a_t}{2}$

$A_t=A_l+A_b+A_B$

$V=\frac{h}{3}(A_B+A_b+\sqrt{A_b\times A_B})$

$h_b=\frac{l\sqrt{3} }{2}$

$h_B=\frac{L\sqrt{3} }{2}$

$a_b=\frac{1}{3}\times h_b =\frac{l\sqrt{3} }{6} \\\\a_B=\frac{1}{3}\times h_B =\frac{L\sqrt{3} }{6}$

Avand formulele de mai sus vom rezolva cerintele:

a)

$A_B=\frac{18^2\sqrt{3} }{4}= 81\sqrt{3}\ cm^2$

b)

$a_b=O'E'\\\\a_B=OE$

$O'E'=\frac{12\sqrt{3} }{6}=2\sqrt{3} \ cm \\\\OE=\frac{18\sqrt{3} }{6}=3\sqrt{3} \ cm$

c)

$P_b=3\times 12=36\ cm\\\\P_B=3\times 18=54\ cm$

Pentru a afla apotema trunchiului vom lua separat trapezul dreptunghic O'OEE'

Cunoastem O'E'=2√3, OE=3√3, O'O=3=h

Trebuie sa aflam apotema trunchiului, adica EE'

• Ducem inaltimea din E', o notam E'F

FO=E'O'=2√3 cm

FE=OE-FO=3√3-2√3=√3 cm

• Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat) in ΔE'FE

EE'²=EF²+E'F²

EE'=3+9=12

EE'=2√3 cm

Calculam aria laterala:

$A_l=\frac{(36+54)\times 2\sqrt{3} }{2}=90\sqrt{3}\ cm^2$

f)

Pentru a calcula volumul, stim aria bazei mari (am aflat-o la punctul a) si trebuie sa mai calculam aria bazei mici

$A_b=\frac{12^2\sqrt{3} }{4} =36\sqrt{3}\ cm^2$

$V=\frac{3}{3}( 81\sqrt{3}+ 36\sqrt{3}+\sqrt{81\sqrt{3}\times 36\sqrt{3} } )=117\sqrt{3}+54\sqrt{3}= 171\sqrt{3}\ cm^3$

g)

Trebuie sa calculam SO

Luam ΔSEO si aplicam T.F.A (sir de rapoarte egale), O'E'║OE

$\frac{SE'}{SE}=\frac{SO'}{SO}=\frac{O'E'}{OE}$

Luam ultimele doua rapoarte:

$\frac{SO'}{SO}=\frac{O'E'}{OE}\\\\\frac{SO'}{SO}=\frac{2\sqrt{3} }{3\sqrt{3} }$

$\frac{SO'}{SO}=\frac{2 }{3 }$

Formam proportie derivata, din numarator scadem numitorul si pastram numitorul

$\frac{SO-SO'}{SO}=\frac{3-2 }{3 }\\\\\frac{OO'}{SO}=\frac{1}{3}$

Stim din ipoteza ca inaltimea este 3 cm, adica OO'=3 cm

$\frac{3}{SO}=\frac{1}{3}$

SO=9 cm