Question

Aplicind teorema lui Weierstrass, sa se demonstreze convergenta sirului (x_n)n≥1, daca:
x_n= (2n+1)/ (n+1)

Answer 1

Teorema (criteriul) lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent.


x_n>0, oricare ar fi n apartine N* ...(1)
x_n=(2n+1)/(n+1)=1+n/(n+1)<1+1=2, oricare ar fi n apartine N* ...(2)

Din (1) si (2) rezulta ca sirul x_n este marginit.

[x_(n+1)]/[x_n]=[(2n+3)/(n+2)]*[(n+1)/(2n+1)]=[(2n+3)(n+1)]/[(2n+1)(n+2)]=(2n^2+5n+3)/(2n^2+5n+2)=1+1/(2n^2+5n+2)>1. => x_(n+1)>x_n, oricare ar fi n apartine N*. => sirul x_n este strict crescator.

Din marginire si monotonie deducem (pe baza criteriului Weierstrass) ca sirul x_n este convergent.