Question

Ar. ca 3k^2+3k+12 este divizibil cu 6.

Answer 1

$3k^2+3k+12 = 3k^2+3k+3\cdot 4 = 3\cdot(k^2+k+4) = \\ =3\cdot \Big(k(k+1)+4\Big) = 3\cdot 2\cdot \dfrac{k(k+1)+4}{2} = 3\cdot 2 \cdot \Big(\dfrac{k(k+1)}{2} +2\Big)= \\ \\ = 6 \cdot \Big(\dfrac{k(k+1)}{2} +2\Big) \\ k(k+1) \vdots 2, \forall k \in \mathbb_{Z} \quad \\ \\ \Rightarrow 6 \cdot \Big(\dfrac{k(k+1)}{2} +2\Big) \vdots 6,\quad \forall k\in \mathbb_{Z}$

k(k+1) este intotdeauna par, adica divizibil cu 2 oricare ar fi k numar intreg,
deoarece orice valoare i-am da, fie ea para sau impara, tot va fi egal cu un numar par.

nr. par r × nr. impar = nr. par,  intodeauna, si invers

Ex: 2×3 = 6, 7×8 = 56, 5×6 = 30, 6×7 = 42