Matematică, întrebare adresată de Utilizator anonim, 8 ani în urmă

Arată că( 1 pe 23)+ (1 pe 34)+(1 pe 45) .........+1 pe 20152016 <1 pe 2

Anexe:

GreenEyes71: Asta fac, te ajut, nu se vede ?

GreenEyes71: Reformulez întrebarea: poți scrie fracția 1/[k*(k+1)], ca diferență de alte 2 fracții ? Răspunsul sigur este da, deci care sunt cele 2 fracții ? Nu uita să scrii numitorul fracției între paranteze, dacă este compus, adică dacă are mai mult de un termen, înțelegi.

GreenEyes71: Da, exercițiul 6 din poză, de ce crezi că te-aș întreba despre altceva ?

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de tcostel

$\displaystyle\\ \frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{2015\times2016}\\\\\text{Folosim formula }~\frac{1}{n\times(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\\\\\ \frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{2015\times2016}=\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=$

$\displaystyle\\ \text{Reducem termenii asemenea.}\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{2016}=\frac{1008}{2016}-\frac{1}{2016}=\frac{1008-1}{2016}= \frac{1007}{2016}\\\\\\\frac{1007}{2016}<\frac{1008}{2016}=\frac{1}{2}\\\\\implies~~\frac{1007}{2016}<\frac{1}{2}\\\\\implies~~\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{2015\times2016}<\frac{1}{2}$