Question

arata ca,daca p1 p2 p3 .....p100 sunt cele mai mici 100 nr prime atunci P=p1×p2×p3×....×p100+1este nr prim

Answer 1

R=p1* p2 *p3* .....p100
P=p1 p2 p3 .....p100+1
Presupunem prin absurd ca P+1 nu ar fi prim, deci ar avea cel putin 2 divizori in afara de 1 si el insusi
P+1=d1*d2
Dar 1<d1 si d2<P+1 si totodata macar unul dintre ei este prim ( orice descompunere a unui numar natural in factori primi are printre divizori cel putin un numar prim, restul fiind combinatii la diferite puteri de numere prime Ex. 28=2*14=4*7=2^2*7  7 fiind prim)
deci cel putin unul dintre d1 sau d2 se afla printre primii 100 de numere prime
Fie d1=pi diferit de 1 si P+1 (i apartine [1,100], numar natural)
Avem R=pi*x
P=R+1=pi*y
P-R=1=pi(y-x)  cum pi>1  rezulta ca y-x=1/pi ceea ce se intampla doar pentru pi=1, care contrazice ipoteza de la care am pornit.Am ajins la un lucru absurd, ceea ce duce la concluzia ca ipoteza de la care am pornit, ca P+1 nu este prim, este falsa.
Concluzie: P+1 este numar prim
Scuze daca am intrat prea adanc in detalii !