Question

Arată că numărul 5 la puterea 2014+ 3 la puterea 2015 nu este pătrat perfect .

Answer 1

Stim ca patratele perfecte se temina cu 1,4,5,6 sau 9 si numerele care se temina cu 2,3,7,8 nu pot fi patrate perfecte.
Vom determina care este ultima cifra a numarului 5^2014+3^2015.
Numarul 5 la orice putere are intotdeauna ultima cifra 5, deci ultima cifra a numarului 5^2014 este 5.
Pentru numarul 3^2015:
u(3) = 3
u(3^2)=9
u(3^3)=7
u(3^4)=1, unde u este ultima cifra a numarului din paranteza.
Mai departe, ultima cifra a lui 3 ridicat la putere se repeta, din 4 in 4 puteri. Puterea 2015 este de tipul 4x+3, adica 4x503+4, deci ultima cifra a lui 3^2015 va fi 7.
Adunand ultima cifra a celor doua numere (5 si 7), vedem ca ultima cifra a numarului 5^2014+3^2015 fa fi 2, deci numarul nu poate fi patrat perfect.