Question

Arata ca numarul a=1+5+5^2+...+5^2013 este divizibil cu 6

Answer 1

1. Grupezi termenii doi cate doi ;
2. La a doua grupare ai 5^2( 1 + 5 ) =5^2*6;
3. La a treia grupare ai 5^4( 1 + 5 ) =5^4*6 ;
s.a.m.d.
La ultima grupare ai 5^2012( 1 + 5 ) = 5^2012*6 ;
Dai factor comun pe 6 => a = 6( 1 + 5^2 + 5^4 + ... + 5^2012 );
Observam ca a este divizibil cu 6 ;
Bafta !

Answer 2

5⁰ + 5¹ + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ + 5⁷....+ 5²⁰¹² + 5²⁰¹³ = 
= 5⁰(1 + 5) +5²(1+5) + 5⁴(1 + 5) + 5⁶(1 + 5) + ...... + 5²⁰¹²(1 + 5) =
= (1 + 5)(5⁰ + 5² + 5⁴ + 5⁶ + .... + 5²⁰¹²) =
= 6(5⁰ + 5² + 5⁴ + 5⁶ + ... + 5²⁰¹²)  Acest numar este divizibil cu 6 pentru ca este un produs de doi factori din care unul este egal cu 6.