Question

Arată că numărul radical din 3²⁰⁰⁰+4²⁰⁰⁰ este irațional (ambele numere sunt sub radical).​

Answer 1

Răspuns:

Deci trebuie demonstrat rad(3^2000 + 4^2000) este irational, echivalent cu a demonstra 3^2000 + 4^2000 nu este patrat perfect. Folosim tehnica ultima cifra.

U(k^2) € {0, 1, 4, 9, 6, 5}

Calculam U(3^2000).

U(3^0) = 1, U(3^1) = 3, U(3^2) = 9, U(3^3) = 7

Ciclul se repeta. U(3^4) = 1, U(3^5) = 3 samd.

U(3^x) =

1, daca x mod 4 = 0

3, daca x mod 4 = 1

9, daca x mod 4 = 2

7, daca x mod 4 = 3

2000 mod 4 = 0 deci U(3^2000) = 1

Calculam U(4^2000).

U(4^1) = 4, U(4^2) = 6

Iarasi se repeta. U(4^3) = 4, U(4^4) = 6, samd

U(4^x) =

6, daca x mod 2 = 0

4, daca x mod 2 = 1

2000 mod 2 = 0 deci U(4^2000) = 6

U(3^2000 + 4^2000) = U(U(3^2000) + U(4^2000)) =

= U(1 + 6) = U(7) = 7

7 nu poate fi ultima cifra a unui patrat perfect. Am demonstrat ca numarul este irational.