Question

Arata ca produsul a trei numere naturale consecutive se divide cu 6.

Answer 1

Notam cu:

a - primul numar

a + 1  al doilea numar

a + 2 al treilea numar

a(a+1)(a+2) ⋮ 6

• produsul celor trei numere naturale consecutive ca sa se divida cu 6 trebuie sa se divida simultan cu 2 si 3

• Stim ca produsul oricaror doua numere naturale consecutive se divide cu 2 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 2
• stim ca prin impartirea unui numar natural la 3 se obtin resturile 0, 1, 2⇒ a va avea una din urmatoarele forme M₃, M₃+1, M₃+2

1) a = M₃ ⇒ a ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 6

2) a = M₃+1 ⇒ a+2 ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 6

3) a = M₃+2 ⇒ a+1 ⋮ 3 ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 3,

         dar (2,3) =1 (sunt prime intre ele) ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 6

Din cazurile analizate ⇒ a(a+1)(a+2) ⋮ 6, ∀ a ∈ IN

!!! Observatii!!!

∀  - inseamna oricare

⋮ - inseamna divide

∈ - apartine

IN - multimea numerelor naturale

Answer 2

P(n): n(n+1)(n+2) = M₆

Demonstrez prin inducție matematică.

P(k): k(k+1)(k+2) = M₆

P(1): 1·2·3 = 6 = M₆ (A)

P(2): 2·3·4 = 6·4 = M₆ (A)

P(k+1):

(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) =

= M₆ + 3(k+1)(k+2) =

(Produsul a 2 numere consecutive este par pentru că cel puțin unul din ele e par.)

= M₆ + 3·M₂ =

= M₆ + M₆

= M₆ (q.e.d.)