Question

aratai ca 2¹₊2²₊2³₊................2²⁰¹³ divizibil cu 7

Answer 1

S= 2^1 + 2^2 + 2^3 + ....+ 2^2013 înmulțim relația cu baza 2 si obținem:
2S= 2^2 + 2^3 + 2^4+ ...+ 2^2014 acum scădem cele două relații:

2S - S=2^2 + 2^3 + 2^4+ ....+2^2013+ 2^2014 - 2^1 - 2^2 -2^3 - ....- 2^2013;

S = 2^2014 - 1

determinăm ultima cifră a acestei sume:
u (S) = u (2^2014) - 1;

u (2^2014) =

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=6
2^5=2. deci secventa (2, 4, 8, 6) se repetă din 4 în 4;
din acest motiv împărțim exponentul 2014 la 4, iar restul ne "spune" ultima cifră a numărului căutat, adica a câta cifră este din secventa care se repetă;

deci 2014: 4 da catul 503 si rest 2 ---> pe locul al doilea din secventa (2, 4, 8, 6) este 4 deci u (2^2014) este 4;

dacă restul ar fi fost 0, ultima cifră ar fi fost cifră de pe ultimul loc din secventa care se repetă;

deci u (S) = 4 - 1 = 3

nu prea am ce sa fac cu acest 3..…. si nici nu am criteriu de divizibilitate cu 7 .... m-am cam blocat.... dacă îmi vine o idee, revin cu un comentariu!

:D