Question

aratati ca 1^1997+2^1997+3^1997+.......+1997^1997 nu este patrat perfect

Answer 1

notam numarul cu N
Uc(1¹⁹⁹⁷)=1
Uc(2¹⁹⁹⁷)=Uc(2⁴⁹⁹ˣ⁴⁺¹)=Uc(2¹)=2
Uc(3¹⁹⁹⁷)=Uc(3⁴⁹⁹ˣ⁴⁺¹)=Uc(3¹)=3
Uc(4¹⁹⁹⁷)=Uc(4⁹⁹⁸ˣ²⁺¹)=Uc(4¹)=4
Uc(5¹⁹⁹⁷)=5
Uc(6¹⁹⁹⁷)=6
Uc(7¹⁹⁹⁷)=Uc(7⁴⁹⁹ˣ⁴⁺¹)=Uc(7¹)=7
Uc(8¹⁹⁹⁷)=Uc(8⁴⁹⁹ˣ⁴⁺¹)=Uc(8¹)=8
Uc(9¹⁹⁹⁷)=Uc(9⁹⁹⁸ˣ²⁺¹)=Uc(9¹)=9
Uc(10¹⁹⁹⁷)=0
Uc(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)=Uc(45)=5    (avem199 de grupe
Uc(1+2+3+4+5+6+7)=Uc(28)=8                  (1997-199x10=7)
Uc(N)=Uc(199x5+8)=Uc(1003)=3
daca ultima cifra e 2,3,7 sau 8 nu este patrat perfect