Question

Arătaţi că 1+cosπ+cos2π+cos3π+...+cos2023π=0.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

cos(0·π)+cos(1·π)+cos(2·π)+cos(3·π)+...+cos(2023·π).

Avem o sumă de 2023-0+1=2024 termeni, deci număr par de termeni. Termenii de rang (poziție) par, cos(2·k·π)=cos(0+2πk)=cos0=1 pentru orice k∈N, iar termenii de rang impar, cos[(2k+1)π]=cos(π+2πk)=cosπ=-1, pentru orice k∈N și în baza periodicității (T=2π) funcției trigonometrice f(x)=cosx. Atunci grupând câte doi termeni obținem:

cos(0π)+cosπ+cos2π+cos3π+...+cos2023π=(cos(0π)+cosπ)+(cos2π+cos3π)+...+(cos2022π+cos2023π)=(1+(-1))+(1+(-1))+...+(1+(-1))= 0+0+...+0=0.