Question

Aratati ca (1-i) la puterea 24 apartine lui R

Answer 1

transformi  numarul  in  forma  trigonometrica.
l zl=√(1²+(-1)²)=√2
cosФ=a/lzl=1/√2= amplifici  cu  √2=√2/2 
sin Ф=b/lzl=-1/√2= -√2/2
√2/2 corespunde  arcului de  π/4. dar  cos  e  pozitiv,  sinusul  negativ ,atunci Ф  este  in cadranul  4
Ф=2π-π/4=7π/4
z=√2/(cos 7π/4+isin 7π/4)
Aplici  formula  lui  Moivre  si  determini  pe  z^24
z=[√2/2(cos 7π/4+isin 7π/4)]^24=(√2/2)^24·(cos24·7π/4+isin24·7π/4)=
2^12/2^24·(cos42π+isin42π)=...    42π  este  d  forma 2kπ=> cos2kπ=1  si  sin 2kπ=0
z^24=2^(-12)·1=2^(-12)∈R