Question

Aratati ca 1 impartit la n(n-k)=1 impartit(1impartit la n minus 1 impartit la n+k) si calculati: S=1: la 1 ori 5+1 :5×9+1:9×13+....+1:81×85.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

n(n+k)1=kn1−n+k1

inmultesc relatia cu k (si la numitor in dreapta se simplifica)

\frac{k}{n(n+k)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}n(n+k)k=n1−n+k1

 in dreapta amplifi cu n si cu n+k pentru a aduce la acelasi numitor

\frac{k}{n(n+k)}= \frac{n+k-n}{n(n+k)}n(n+k)k=n(n+k)n+k−n

si dupa ce se simplifica n din dreapta de la numarator este clar ca sunt egale

iar la suma se plica aceasta relatie demonstrata mai sus:

1/1*3=1/2(1/1-1/3)

1/3*5=1/2(1/3-1/5)

............................

si se observa ca mereu va fi acel 1/2 (care in formula este egal cu k)

deci dau direct factor comun pe 1/2

si rezulta

S=\frac{1}{2} ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+......+ \frac{1}{23} - \frac{1}{25} )21(11−31+31−51+......+231−251)

de asemenea se observa ca se simplifica in paranteza toti termenii si ramn doar primul si ultimul

S=\frac{1}{2} ( \frac{1}{1} - \frac{1}{25} )= \frac{1}{2} * \frac{24}{25}21(11−251)=21∗2524

deci suma este

S=\frac{12}{25}2512