Question

Aratati ca 1/n{n+1}=1/n-1/n+1
Calculati S = 1/1*2+1/2*3+....1/19*20

Answer 1

se poate arata facand efectiv inmultirea

$\frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

in stanga amplific cu n+1 la prima fractie si cu n la a doua si rezulta

$\frac{1}{n^2+n} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)}$

se observa ca fractiile au acelasi numitor (n(n+1)=n^2+n)
rezulta

$\frac{1}{n^2+n}= \frac{1}{n^2+n}$
Ceea ce este adevarat

iar la S=$\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} +.......+ \frac{1}{19*20}$

se aplica regula demonstrata mai sus pentru a despartii fractiile si rezulta
$S= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +.....+ \frac{1}{19} - \frac{1}{20}$

Si se observa ca se simplifica toti termenii, inafara de primul si ultimul (-1/2+1/2=0 si tot asa)

si ramane
S=$\frac{1}{1} - \frac{1}{20}= \frac{19}{20}$