Question

aratati ca 1/n(n+k)=1/k(1/n-1/n+k)
S =1/1*3+1/3*5+....1/23*25

Answer 1

$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} }{k}$

inmultesc relatia cu k (si la numitor in dreapta se simplifica)

$\frac{k}{n(n+k)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}$

 in dreapta amplifi cu n si cu n+k pentru a aduce la acelasi numitor


$\frac{k}{n(n+k)}= \frac{n+k-n}{n(n+k)}$

si dupa ce se simplifica n din dreapta de la numarator este clar ca sunt egale

iar la suma se plica aceasta relatie demonstrata mai sus:
1/1*3=1/2(1/1-1/3)
1/3*5=1/2(1/3-1/5)
............................
si se observa ca mereu va fi acel 1/2 (care in formula este egal cu k)
deci dau direct factor comun pe 1/2

si rezulta
S=$\frac{1}{2} ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+......+ \frac{1}{23} - \frac{1}{25} )$

de asemenea se observa ca se simplifica in paranteza toti termenii si ramn doar primul si ultimul
S=$\frac{1}{2} ( \frac{1}{1} - \frac{1}{25} )= \frac{1}{2} * \frac{24}{25}$

deci suma este
S=$\frac{12}{25}$