Question

Aratati ca:
1) pentru orice cifre nenule a,b,c , numarul abc+bca+cab (cu bara deasupra)nu este patrat perfect
2)daca a si b sunt cifre consecutive, atunci: 11*b1-11*a0(cu bara deasupra) este patrat perfect
3)pentru orice numar natural 35n+8 nu este patrat perfect


P.s steluta inseamna x(ori, inmultit cu)

Answer 1

1)abc+bca+cab=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111a+111b+111c=111x(a+b+c)
111 nu este patrat perfect deoarece nu se poate scrie ca un  numar la puterea a 2-a.
2)11xb1-11xa0=11x(10b+1-10a-0)
                      =11x(10b-10a+1)
Daca a si b cifre consecutive inseamna ca b=a+1⇒11x(10a+10-10a+1)
                                                                        =11x11=11²⇒patrat perfect
3)35n+8 =350+50+n+8=408+n 
cum singurele patrate perfecte cu cifra sutelor 4 sunt:400,441,484 si nici o cifra adunata cu 408 nu ne poate da unul dintre aceste trei numere⇒ca 35n+8 nu poate fi patrat perfect.Succes!

Answer 2

1.  100a+10b+c +1+100b+10c +a +100c+10a +b = 111(a+b+c) = 3·37(a+b+c)
pentru a fi patrat perfect trebuie ca a+b+c = 3·37 =111, dar, max. (a+b+c) = 27 ⇒
⇒nu poate fi patrat perfect.
2.  11(10b+1- 10a) = 11[10(a+1) + 1 - 10a] = 11·11 = 11² = p.p.
3.  35n +8 =
Uc(35n) = 0 sau 5 ⇒ Uc(35n+8) = 8 sau 3 și nici un „nr²” nu are Uc =3 sau 8