Question

Arătați că 10^24<2^80<10^25​

Answer 1

Răspuns:

10²⁴ < 2⁸⁰ < 10²⁵

Explicație pas cu pas:

10²⁴ < 2⁸⁰ < 10²⁵  = ?

24 = 2³·3

80 = 2⁴·5 = 2³·10

25 = 5²

10²⁴ = 10⁸ˣ³ = (10³)⁸ = 1000⁸

10²⁵ = 10²⁴·10 = 1000⁸·10

2⁸⁰ = (2¹⁰)⁸ = 1024⁸

1000 < 1024 => 1000⁸ < 1024⁸

1000⁸ < 1000⁸·10

2⁸⁰ = (2¹⁶)⁵   ; 10²⁵ = (10⁵)⁵

2⁸⁰ = (65536)⁵  ; 10²⁵ = (100000)⁵

65536 < 100000 => 2⁸⁰ < 10²⁵ =>

10²⁴ < 2⁸⁰ < 10²⁵

Answer 2

$\it 10^{24}<2^{80} \Leftrightarrow 2^{24}\cdot5^{24}<2^{80}|_{:2^{24}}\Leftrightarrow 5^{24}<2^{56} \Leftrightarrow5^{3\cdot8}<2^{7\cdot8}\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow(5^3)^8<(2^7)^8\Leftrightarrow125^8<128^8\ \ (A)\ \ \ \ \ (1)$

$\it 2^{80}<10^{25} \Leftrightarrow 2^{80}<2^{25}\cdot5^{25}|_{:2^{25}} \Leftrightarrow 2^{55}< 5^{25} \Leftrightarrow 2^{11\cdot5}<5^{5\cdot5}\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow(2^{11})^5<(5^5)^5 \Leftrightarrow 2048^5<3125^5\ \ (A)\ \ \ \ \ (2)\\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 10^{24}<2^{80}<10^{25}$

Remarcă:

Deoarece 10²⁴ este cel mai mic număr natural format din 25 de

cifre,  iar 10²⁵ este cel mai mic număr format din 26 de cifre,

va rezulta că 2⁸⁰ este format din 25 de cifre.