Question

Aratati ca 10^n se poate scrie ca o suma de doua patrate perfecte, pentru orice numar natural n

Answer 1

Avem doi cazuri

1. n este par: n = 2k
10^2k = 100 * 10^(2k-2) = (36 + 64) *10^(2k-2)
= (6^2 + 8^2) * 10^(2(k-1))
= (6^2 + 8^2) * (10^(k-1))^2
= 6^2 * (10^(k-1))^2 + 8^2 * (10^(k-1))^2
= (6 * 10^(k-1))^2 + (8^2 * 10^(k-1))^2

2. n este impar: n = 2k+1
10^(2k+1) = 10 * 10^2k = (1 + 9) *10^2k
= (1^2 + 3^2) * (10^k)^2
= 1^2 * (10^k)^2+ 3^2 * (10^k)^2
= (1 * 10^k)^2+ (3 * 10^k)^2