aratati ca 10²⁰¹²-7 este divizibil cu 13
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Demonstrati că: 13 | 10²⁰¹² - 7
Rezolvare:
Criteriul de divizibilitate cu 13:
1) Daca diferența dintre numărul format din ultimele 3 cifre ale unui număr și numărul format din restul cifrelor este divizibil cu 13, atunci numărul dat este divizibil cu 13.
2) Împărțim numărul in grupe de câte trei cifre, de la dreapta, la stânga. Daca diferența dintre suma numerelor formate în grupele de rang impar (grupa 1, grupa 3, grupa 5, etc) și suma numerelor formate în grupele de rang par (grupa 2, grupa 4, grupa 6, etc) este divizibilă cu 13, atunci numărul dat este divizibil cu 13.
Deși primul criteriu este mai ușor de înțeles, având în vedere că noi avem un număr cu foarte multe cifre, vom folosi cel de-al doilea criteriu.
Mai întâi, să stabilim forma numărului 10²⁰¹²-7:
10²⁰¹² - 7 = 100000...00 (2012 de 0) - 7 =
= 999999...99993 (2011 de 9)
9999...9993 are 2012 cifre (2011 cifre de 9 și o cifră de 3), astfel, vom avea 670 grupe cu 3 cifre, iar ultima grupa va avea 2 cifre.
Astfel, avem:
grupa 1: 993
grupa 2: 999
grupa 3: 999
...
grupa 670: 999
grupa 671: 99
S = 993 - 999 + 999 - 999 + ... + 999 - 999 + 999 - 99 =
= -6 + 0 + 0 + ... + 900 =
= 900 - 6 =
= 897
897 este divizibil cu 13, astfel 10²⁰¹² - 7 este divizibil cu 13.
Succes!