Question

aratati ca 2(1+3+3²+.......+3⁵⁰)<3⁵¹​ dau coroana!

Answer 1

Răspuns:

$\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}$

Explicație pas cu pas:

Rezolvam suma

$1+3+3^{2}+3^{3}+...+3^{50}$

Exista formula astfel:

$1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

Inlocuind la noi

S= $\frac{3^{51}-1}{50-1}$=$\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}$

Astfel revenind

$2*(\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49})<3^{51}$ /* 1/2

$\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}$

Comparam fractiile

$\frac{3^{51}}{49}<\frac{3^{51} }{2}$  (Daca avem doua fractii cu numaratori egali, fractia cea mai mare este cea unde numitorul este cel mai mic)

$\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}$ (Daca scadem din prima parte  0<1/49<1  diferenta nu va afecta compararea, deoarece membrul stang devine mai mic)

Deci $\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}$ de unde relatia 2(1+3+3²+.......+3⁵⁰)<3⁵¹​ este adevarata