Question

Arătați ca: (2+2²+2³+...+2⁸⁴) este divizibil cu 105

Answer 1

Vom grupa numerele 12 câte 12 obținând astfel 7 grupe de câte 12 puteri ale lui 2 consecutive.
(2+2²+2³+...+2¹²)+(2¹³+2¹⁴+2¹⁵+...+2²⁴)+...+(2⁷³+2⁷⁴+2⁷⁵+...+2⁸⁴).
Apoi vom da factor comun din fiecare paranteză puterea lui 2 cu cel mai mic exponent:
2(1+2+2²+...+2¹¹)+2¹³(1+2+2²+...+2¹¹)+...+2⁷³(1+2+2²+...+2¹¹).
În fiecare paranteză se va obține 4095=39*105.
2x39x105+2¹³x39x105+...+2⁷³x30x105=105x39(2+2¹³+...+2⁷³),iar acest produs este divizibil cu 105 deoarece are factorul 105.
Sper că te-am putut ajuta!!