aratati ca 2 il divide pe (1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ), ptr. orice n∈N|*
(1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ) este divizibil cu 10 ptr. orice n∈N, si n nu este divizibil cu 4
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
7
1 la puterea n este întotdeauna 1, pentru orice n natural, nenul. În plus, 1 este număr impar.
2 la orice putere naturală este număr par.
3 la orice putere naturală este număr impar.
impar + par + impar = par, deci 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ este divizibil cu 2.
Green eyes.
Divizibiitatea cu 5: știm că xⁿ+yⁿ este multiplu de x+y, deci 2ⁿ+3ⁿ este multuplu de 5, deci e divizibil cu 5.
4ⁿ = (5-1)ⁿ=M5-1 => 1ⁿ + 4ⁿ = 1 + 4ⁿ = 1 + M5 - 1 = M5, deci 1ⁿ + 4ⁿ = M5. Din toate acestea rezultă că suma 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ este atât multiplu de 2, cât și multiplu de 5, deci este multiplu de 10.
4ⁿ = (5-1)ⁿ=M5-1 => 1ⁿ + 4ⁿ = 1 + 4ⁿ = 1 + M5 - 1 = M5, deci 1ⁿ + 4ⁿ = M5. Din toate acestea rezultă că suma 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ este atât multiplu de 2, cât și multiplu de 5, deci este multiplu de 10.
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Geografie,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Pentru a demonstra divizibilitatea cu 10, trebuie să arătăm că suma din enunț este divizibilă cu 2 și separat cu 5.
Pentru a arăta divizibilitatea cu 2, ne folosim de prima problemă, 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ este divizibil cu 2. În plus, 4 la orice putere naturală este număr par. De aici rezultă simplu că 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ se divide cu 2.