Question

aratati ca : a) 1+2¹+2²+2³+....+2 la puterea 197 divizibil cu 7
b) 7¹+7²+7³+.....+7la puterea 150 divizibil cu 19.ex 9 a) si b)

Answer 1

a) 1+2¹+2²+2³+....+2¹⁹⁷=
se grupeaza termenii cate 3
(1+2¹+2²)+(2³+2⁴+2⁵)+...  +( 2¹⁹⁵+2¹⁹⁶+2¹⁹⁷)=
se da factor comun
(1+2¹+2²)+2³(1+2¹+2²)+...  + 2¹⁹⁵(1+2¹+2²)=
se da factor comun paranteza
(1+2¹+2²)(1+2³+2⁶+2⁹+...  + 2¹⁹⁵)=
 (1+2¹+2²)=1+2+4=7
deci
(1+2¹+2²)(1+2³+2⁶+2⁹+...  + 2¹⁹⁵)= devine 7×(1+2³+2⁶+2⁹+...  + 2¹⁹⁵)=
deci
1+2¹+2²+2³+....+2¹⁹⁷= este divizibil cu 7


b) 7¹+7²+7³+.....+7la puterea 150 divizibil cu 19.
grupam termenii cate 3

(7¹+7²+7³)+(7³+7⁴+7⁵)+......+(7¹⁴⁸+7¹⁴⁹+7¹⁵⁰)=
dam factor comun
7(1+7¹+7²)+7³(1+7¹+7²)+.........+7¹⁴⁸((1+7¹+7²)=
paranteza
(1+7¹+7²)=1+7+49 = 57
7×57+7³×57+..........+7¹⁴⁸×57=
57×(7+7³+........+7¹⁴⁸)=
57=3×19⇒
7¹+7²+7³+.....+7¹⁵⁰ devine  3×19×(7+7³+........+7¹⁴⁸)  ceea ce este evident ca este divizibil cu 19