Arătați că A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... 3^2003 + 3^2016 este divizibil cu 4
Răspunsuri la întrebare
M-am chinuit de aseara sa o rezolv si abia acum am reusit. Sunt foarte multe de observat aici.
Punand cap la cap cele doua ecuatii, obtinem:
Am reusit sa transformam acest in numar in cateva numere ce se inmultesc cu 4. Pana acum totul bine. Vom continua cu acest procedeu pana ajungem la 3^2004, cand vom da de cealalta suma.
Observam la ecuatiile de mai sus ca vor alterna la semne, si vor cobora puterile cate una. Asadar, vom avea:
Stim ca asa va arata sirul nostru deoarece observam ca atunci cand puterea este para, semnul din fata ultimului termen este "+", iar cand ultimul termen are putere impara, are semnul "-". Iar termenii care sunt inmultiti cu 4 sunt exact invers la semne. Cei cu puteri pare sunt cu "-" si cei cu putere imparte sunt cu "+". Mai observam si ca toti termenii de pana acolo vor fi inmultiri de 4, mai putin ultimul termen 3^2004 pe care nu l-am descompus ca mai sus.
Aici ne oprim cu acest gen de descompuneri pentru ca ne lovim de alte numere si nu va mai functiona artificiul construit pana acum. Insa observam altceva:
Si la fel mai departe.
Si tot asa, toate puterile noastre din acea suma se vor cupla doua cate doua si vor forma numere ce se vor inmulti cu 4. Totul va continua pana la inceputul sirului, unde se vor cupla:
De ce stim sigur ca cei doi se vor cupla? Pentru ca daca ne uitam la exemplele de cuplare de mai sus, vedem ca mereu vine un numar cu putere para mai mare decat cel impar adunat cu un numar cu putere impara mai mica decat cel par.
Asadar:
Asa am demonstrat ca A divizibil cu 4.