Question

`Aratati ca A= 4*+4**+4***+......+4(****.....***)       se divide cu 7140  Stelutele reprezinta puteri *=1     **=2        ****=4          iar la ultima este 4 la puterea 444

 

Answer 1

A=4(1+4+4²+4³+.........4^443)      7140 = 4×1785 ⇒S =1+4+4²+...... + 4^443 =1785     1785 =3×5×7×17

S =(1+4)+4²(1+4)+...........4^442(1+4) = 5( 1+4²+4^4 + 4^6 +..........4^442) = 5[(1+4²) + 4^4(1+4²) +.......+4^440 (1+4²) ]= 5×17( 1 + 4^4 + 4^8+..+4^440) ⇒S este divizibil cu 5 si cu 17

S= (1+4+4²) +4³(1+4+4²) +.....+4^441 (1+4+4²) =21(1+4³+........4^441) ⇒ S divizibil cu 3·7   ⇒   S divizibil cu 5·17·3·7  ⇒ Sdiviz cu1785 ⇒ A se divide cu 4·1785 = 7140