Question

Aratati ca A=(5+10+15+......+200):41 se imparte exact la 25

Answer 1

Explicație pas cu pas

Ce se cere:

Arătați că A = (5+10+15+......+200):41 se împarte exact la 25.

Observație:

Analizând expresia de mai sus, în paranteză observăm că numerele sunt din 5 în 5. Astfel, pentru ușurința calculelor, vom folosi suma lui Gauss.

Folosim formula lui Gauss pentru numere consecutive:

$1+2+3+ ...+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Rezolvare:

Pentru a aduce paranteza la forma necesară din formula lui Gauss, vom da factor comun pe 5. Astfel vom avea:

(5+10+15+......+200) = 5×(1 + 2 + 3 + ... + 40).

În paranteza de mai sus, n este 40. Obținem:

$5*(1 + 2 + 3 + ... + 40) = 5*\frac{40(40+1)}{2} =5*\frac{40*41}{2} = 5 * 20 * 41$

Înlocuim rezultatul de mai sus în A:

A = (5+10+15+......+200) : 41 = 5 * 20 * 41 : 41 = 5 * 20

Scriem pe 20 ca 5 * 4.

A = 5 * 5 * 4 = 25 * 4      => A se împarte exact la 25

Succes!