Question

Arătați că
a) Dacă x, y aparțin [0,+infinit),atunci
[x*y] >=[x]*[y]
b) Dacă x, y aparțin (-infinit, 0],atunci
[x*y] <=[x]*[y]
Mulțumesc anticipat! ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

[x] inseamna partea intreaga a lui x

asadar:

a)

x, y > 0

notam cu a si b partile subunitare ale lui x , respectiv y, asa incat

x = [x] + a  si

y = [y] + b

cu 0 ≤ a ≤ 1  si 0 ≤ b ≤ 1

iar [x] ≥ 0 , [y] ≥ 0

atunci:

[x*y] =  [([x] + a)( [y] + b)] = [ [x]*[y] + b*[x] + a*[y] + ab ]

cum [x] si [y] sunt numere intregi, atunci si [x]*[y] este numar intreg, deci :

[ [x]*[y] + b*[x] + a*[y] + ab ] = [x]*[y] + [b*[x] + a*[y] + ab]

cum a , b , [x] si [y] sunt numere mai mari sau egale cu 0, atunci si b*[x] + a*[y] + ab ≥ 0 , deci  [b*[x] + a*[y] + ab] ≥ 0

si atunci

[x*y]  = [x]*[y] + [b*[x] + a*[y] + ab] ≥ [x]*[y] + 0 = [x]*[y]

b)

x, y < 0

notam cu a si b partile subunitare ale lui x , respectiv y, asa incat

x = [x] + a  si

y = [y] + b

cu 0 ≤ a ≤ 1  si 0 ≤ b ≤ 1 ,

iar [x] ≤ -1 si [y] ≤ -1

atunci:

[x*y] =  [([x] + a)( [y] + b)] = [ [x]*[y] + b*[x] + a*[y] + ab ]

cum [x] si [y] sunt numere intregi, atunci si [x]*[y] este numar intreg, deci :

[ [x]*[y] + b*[x] + a*[y] + ab ] = [x]*[y] + [b*[x] + a*[y] + ab]

cum a , b sunt numere mai mari sau egale cu 0, iar , [x] si [y] sunt numere mai mici decat 0 , atunci :

0 ≤ ab

b*[x] + a*[y] + ab  + 0 ≤ b*[x] + a*[y] + ab + ab  = b*( [x] + a) + a*( [y] + b)

Cum 0 ≤ a ≤ 1 si  [x] ≤ -1  ⇒ [x] + a ≤ 0 ⇒  b*( [x] + a) ≤ 0 ,  deoarece b > 0.

Cum 0 ≤ b ≤ 1 si  [y] ≤ -1  ⇒ [y] + b ≤ 0 ⇒  a*( [y] + b) ≤ 0 ,  deoarece a > 0.

asadar b*( [x] + a) + a*( [y] + b) ≤ 0 + 0 = 0

deci

[x*y]  = [x]*[y] + [b*[x] + a*[y] + ab] ≤ [x]*[y] +b*( [x] + a) + a*( [y] + b) ≤ [x]*[y] + 0 = [x]*[y]