Question

Aratati ca A este divizibil cu 7 daca A=2+2^{2}+2^{3}+............+2^{2019}

Answer 1

Răspuns:

A = 7(2 + 2⁴ + 2⁷ + ... + 2²⁰¹⁷)

Explicație pas cu pas:

Grupăm termenii în grupe de câte 3. Deoarece 2019 este divizibil cu 3, vom obține un număr întreg de grupe.

A = 2¹ + 2² + 2³ + .... + 2²⁰¹⁹

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ....+ (2²⁰¹⁷ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰¹⁹)

Dăm factor comun pe cel mai mic termen din fiecare grupă:

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + ....+ 2²⁰¹⁷(1 + 2 + 2²)

A = 2·7 + 2⁴·7 + ....+ 2²⁰¹⁷·7

Dăm factor comun pe 7:

A = 7(2 + 2⁴ + 2⁷ + ... + 2²⁰¹⁷) - ceea ce înseamnă că A este divizibil cu 7