Question

aratati ca a la puterea a 5 a minus a e divizibil cu 30

Answer 1

Răspuns:

Probabil că a este întreg.

$a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1)$

Numerele $a-1, a,a+1$ sunt consecutive, deci cel puțin unul este par și unul este divizibil cu 3. Deci produsul lor este divizibil cu 6. Mai trebuie să arătă că expresia este divizibilă cu 5.

Dacă $a=5k\Rightarrow a\vdots 5$

$a=5k+1\Rightarrow a-1\vdots 5\\a=5k+2\Rightarrow a^2+1\vdots 5\\a=5k+3\Rightarrow a^2+1\vdots 5\\a=5k+4\Rightarrow a+1\vdots 5$

Explicație pas cu pas: