Question

Aratati ca:

a)  $\frac{1}{ 1^{2}}$+$\frac{1}{ 3^{2}}$+$\frac{1}{ 5^{2}}$+.....+$\frac{1}{ 2013^{2}}$< 1,5

b)   $\frac{9}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} } \leq a+b+c$  ,unde a;b;c sunt nr. pozitive

Answer 1

$\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\leq{a}+b+c$. Împărțim la 3 și avem:
$\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\leq\frac{a+b+c}{3}$. Adevărat, pentru că cea din stânga este media armonică, cea din dreapta este media aritmetică și știm ce ordine au ele când toate numerele sunt (strict) pozitive.
Dacă a, b sau c era 0 (oricare), expresia era invalidă.