Question

Aratati ca A =
$\sqrt{(n + 1)(n+2 )(n+3)(n+4) + 1}$
este rațional, pentru orice n € Q​

Answer 1

Răspuns:

A=n²+5n+5; n∈Q => A∈Q

Explicație pas cu pas:

A=√[(n + 1)(n+2 )(n+3)(n+4) + 1], n∈Q

(n + 1)(n+2 )(n+3)(n+4) + 1=

=(n+1)(n+4)*(n+2)(n+3)+1, (am grupat termenii convenabil)

=(n²+5n+4)*( n²+5n+6)+1

=(n²+5n+4)*( n²+5n+4+2)+1

Notăm y=n²+5n+4

=>y(y+2)+1=y²+2y+1=(y+1)²

(y+1)²=(n²+5n+4+1)²=(n²+5n+5)²

A=√(n²+5n+5)²

A=n²+5n+5; n ∈Q => A∈Q