Question

Arătați că dacă a,b,c,d, n sunt numere naturale astfel încât (a+b)(c+d)=n-1 și (a+c)(b+d)=n, atunci n este pătrat perfect.

Answer 1

[tex]\it a,\ b,\ c,\ d \in \mathbb{N} \ \ (1) \\ \\ (a+c)(b+d)-(a+b)(c+d)=n-(n-1) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow ab+ad+bc+cd -ac-ad-bc-bd=n-n+1 \Rightarrow \\ \\ ab-ac-bd+cd=1 \Rightarrow a(b-c) -d(b-c) =1 \Rightarrow[/tex]


$\it \Rightarrow (b-c)(a-d)=1 \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} \begin{cases} \it b-c=1 \Rightarrow b=c+1 \ \ \ \ (2) \\ \\ \it a-d=1 \Rightarrow a = d+1 \ \ \ \ (3)\end{cases}$


Din enunț, avem:

(a+c)(b+d) = n ⇒ n = (a+c)(b+d)     (4)

(2), (3), (4) ⇒ n = (d+1+c)(c+1+d) ⇒ n=(c+d+1)(c+d+1) ⇒ n =(c+d+1)² ⇒

⇒ n este pătrat perfect.