Question

Aratati ca daca a b c d €R* sunt in progresie geometrica , atunci a+b b+c c+d au aceeasi proprietate

Answer 1

a, b, c, d sunt in progresie geometrica.

Aplicam prima proprietate fundamentala a progresiilor geometrice, si anume:

Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi, fiecare termen incepand cu al doilea este media geometrica a termenilor vecini, adica b² = $\sqrt{a*c}$

Sau, in cazul general, intr-o progresie geometrica oarecare, b² = a × c

Folosind aceasta proprietate => b² = a × c

                                                 => c² = b × d

Daca a +b, b + c, c + d sunt in progresie geometrica => (b + c)² = (a + b) × (c + d)

b² + 2bc + c² = ac + ad + bc + bd    

Scadem bc din tot randul.

ac + bc + bd = ac + ad + bd

Scadem bd - ac din tot randul.

b × c = a × d, ceea ce este adevarat, pentru ca se afla intr-o progresie geometrica, lucru cunoscut datorita celei de-a doua proprietati fundamentale ale progresiilor geometrice, care zice ca:

Intr-o progresie geometrica a1, a2, ......., an, termenii pot fi grupati astfel incat a1 × an = a2 × (an-1) = a3 × (an-2) = ....... = ak × (an-k+1)

q.e.d.