Question

Arătați că dacă a și b sunt numere naturale, iar a^2010-b^2010=2009^2010, atunci a+b este număr impar. ​

Answer 1

$a^{2010}-b^{2010}=2009^{2010}\\ \\ {(a^{1005})}^2 - {(b^{1005})}^{2} = 2009^{2010}\\ \\ (a^{1005} - b^{1005})(a^{1005}+b^{1005}) = 2009^{2010}\\ \\ \text{Ne folosim de faptul ca ridicarea la putere isi pastreaza paritatea.}\\\\ 2009^{2010}\text{ este impar} \Rightarrow a^{1005}+b^{1005}\text{ trebuie sa fie neaparat impar,}\\ \text{la fel si }a^{1005}-b^{1005}.\\ \\ \text{Deoarece puterile isi pastreaza paritatea, daca }a^{1005}+b^{1005} -\text{impar,}\\ \text{atunci si }a+b \text{ va fi impar}.$