Aratati ca daca doua parabole au mai mult de doua puncte comune atunci ele coincid.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
Se rezolva prin reducere la absurd. Presupunem ca exista 2 parabole f ,g care au trei puncte comune
f(x)=a1x²+b1x+c1
g(x)=a2x²+b2x+c2
Presupunem ca cele 3 puncte comune sunt y,t si z.Asta inseamna ca
f(y)=g(y); f(t)=g(t) f(z)=g(z) x,y,t,z,=nr reale(y)=g(y)
f(y)=g(y)
a1y²+b1y+c1=a2y²+b2y+c2
(a1-a2)y²+(b1-b2)y+(c1-c2)=0 (I
f(t)=g(t)
a1t²+b1t+c1=a2t²+b2t+c2
(a1-a2)t²+(b1-b2)t+(c1-c2)=0 (ll
Analog f(z)=g(z)
(a1-a2)z²+(b1-b2)z+(c1-c2)=0 (III
In toate cazurile t,y, z, sunt constante, pt ca sunt solutiile ecuatiilor mentionate mai sus
Nota, A=a1-a2, B=b1-b2 C=c1-c2
Substitui in rel (l-(llsi (III
Ay²+By+C=0
At²+BT+C=0
AZ+Bz+C=0 Acesta este un sistem de ecuatii 3x3 omogene care admite solutia banala (0,0,0) solutie unica
Te poti convinge calculind determinantul sistemului.
Subliniez faptul ca y, t, z sunt constante adica coeficienti si A,B, C sunt necunoscute
din A=0=> a1=a2 B=0 b1=b2 C=0 c1=c2 =>
f=g adica cele 2 parabole sunt identice. nu deosebite cum am presupus initial
f(x)=a1x²+b1x+c1
g(x)=a2x²+b2x+c2
Presupunem ca cele 3 puncte comune sunt y,t si z.Asta inseamna ca
f(y)=g(y); f(t)=g(t) f(z)=g(z) x,y,t,z,=nr reale(y)=g(y)
f(y)=g(y)
a1y²+b1y+c1=a2y²+b2y+c2
(a1-a2)y²+(b1-b2)y+(c1-c2)=0 (I
f(t)=g(t)
a1t²+b1t+c1=a2t²+b2t+c2
(a1-a2)t²+(b1-b2)t+(c1-c2)=0 (ll
Analog f(z)=g(z)
(a1-a2)z²+(b1-b2)z+(c1-c2)=0 (III
In toate cazurile t,y, z, sunt constante, pt ca sunt solutiile ecuatiilor mentionate mai sus
Nota, A=a1-a2, B=b1-b2 C=c1-c2
Substitui in rel (l-(llsi (III
Ay²+By+C=0
At²+BT+C=0
AZ+Bz+C=0 Acesta este un sistem de ecuatii 3x3 omogene care admite solutia banala (0,0,0) solutie unica
Te poti convinge calculind determinantul sistemului.
Subliniez faptul ca y, t, z sunt constante adica coeficienti si A,B, C sunt necunoscute
din A=0=> a1=a2 B=0 b1=b2 C=0 c1=c2 =>
f=g adica cele 2 parabole sunt identice. nu deosebite cum am presupus initial
gabi7:
Multumesc mult !
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Geografie,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă