Question

Aratati ca daca doua parabole au mai mult de doua puncte comune atunci ele coincid.

Answer 1

Se rezolva  prin reducere  la  absurd. Presupunem  ca  exista  2 parabole  f  ,g  care  au  trei  puncte  comune
f(x)=a1x²+b1x+c1
g(x)=a2x²+b2x+c2
Presupunem  ca  cele  3  puncte  comune  sunt  y,t  si  z.Asta  inseamna  ca
f(y)=g(y);  f(t)=g(t) f(z)=g(z) x,y,t,z,=nr  reale(y)=g(y)
f(y)=g(y)
a1y²+b1y+c1=a2y²+b2y+c2
(a1-a2)y²+(b1-b2)y+(c1-c2)=0  (I
f(t)=g(t)
a1t²+b1t+c1=a2t²+b2t+c2
(a1-a2)t²+(b1-b2)t+(c1-c2)=0  (ll
Analog  f(z)=g(z)
(a1-a2)z²+(b1-b2)z+(c1-c2)=0 (III
In  toate  cazurile  t,y, z,  sunt  constante,  pt  ca  sunt  solutiile  ecuatiilor  mentionate mai  sus
Nota, A=a1-a2, B=b1-b2 C=c1-c2
Substitui  in  rel  (l-(llsi (III
Ay²+By+C=0
At²+BT+C=0
AZ+Bz+C=0 Acesta  este  un  sistem  de  ecuatii 3x3 omogene  care  admite  solutia  banala (0,0,0) solutie  unica
Te  poti  convinge  calculind  determinantul  sistemului.
Subliniez  faptul  ca  y,  t, z  sunt constante  adica  coeficienti  si  A,B,  C  sunt  necunoscute
 din  A=0=> a1=a2 B=0 b1=b2  C=0 c1=c2 =>
f=g  adica  cele  2  parabole  sunt  identice.  nu  deosebite  cum  am  presupus  initial