Question

Arătaţi că dacă funcţia f: R-> R verifică egalitatea (f°f)(x)=4x+3 pentru orice număr real x, atunci f este bijectivă.

Answer 1

Notam cu g(x)=(f°f)(x)=4x+3, f si g definite pe R cu valori in R
Bijectiva=injectiva & surjectiva
Injectiva: ∀x1≠x2 din domeniul de definitie, R, in acest caz ⇒g(x1) ≠ g(x2) care este o inegalitate evidenta, deoarece, inlocuind, avem 4x1+3≠4x2+3, adevar pt ∀x1≠x2 din R

Subjectiva: ∀y∈codomeniului(R, in cazul nostru) , exista un  UNIC x∈R(domeniului de definitie), a.i. y=g(x), adevar evident, deoarece pentru orice y∈R, exista si este unic un x∈R a.i. y=4x+3.

Deci, in concluzie, functia este in acelas timp si injectiva si surjectiva pe intregul ei domeniu de definitie, deci BIJECTIVA pe intregul domeniu.