Question

Aratati ca daca intr-un triungi ABC are loc relatia sinA+sinB=cosA+cosB atunci triunghiul este dreptunghic.

Answer 1

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] si cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2].

Deci sinA+sinB=cosA+cosB <=> 2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] <=> cos[(A-B)/2]=0 sau sin[(A+B)/2]=cos[(A+B)/2] <=> (A-B)/2=+-pi/2 sau (A+B)/2=pi/4 <=> A=B+-pi sau A+B=pi/2.

Cum A=B+-pi nu poate avea loc, deoarece A,B,C apartin (0,pi), deducem ca A+B=pi/2, de unde obtinem C=pi-(A+B)=pi-pi/2=pi/2 adica triunghiul ABC este dreptunghic.