Question

aratati ca daca n =(abc cu bara deasupra)^2=(a+b+c)^5, atunci...

Answer 1

(99a+9b+a+b+c)²=(a+b+c)⁵
[9(11a+b)+(a+b+c)]²=(a+b+c)⁵
81(11a+b)²+18(11a+b)(a+b+c)+(a+b+c)²=(a+b+c)⁵
9(11a+b)[9(11a+b)+2(a+b+c)]=(a+b+c)²[(a+b+c)³-1]
Deducem ca 9|(a+b+c)²[(a+b+c)³-1³]
9|(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c-1)[(a+b+c)²+(a+b+c)+1]
Avem mai multe cazuri:
1)9|(a+b+c)=>a+b+c poate fi 9,18 sau 27, fiind multiplu de 9.
Daca a+b+c=9 atunci abc=√9⁵=3⁵=243=>a=2,b=4,c=3 si inlocuind obtinem:
2³+4³+3³-(2+4+3+2²+4²+3²)=
=8+64+27-(9+4+16+9)=
=61 numar prim
Daca a+b+c=18 atunci abc=√18⁵(fals).
Daca a+b+c=27 atunci abc=√27⁵(fals).
2)9|(a+b+c-1)=>a+b+c-1 poate fi 9, 18 sau 27=>a+b+c poate fi 10,19 sau 28=>folosind metoda de mai sus, deducem ca aceste situatii nu pot avea loc, deoarece nu obtinem patrate perfecte in radical.
3)9|[(a+b+c)²+(a+b+c)+1]=>9|[(a+b+c)(a+b+c+1)+1]
Se arata usor ca 9 nu divide numere de forma x(x+1)+1, dandu-i lui x valori de forma9k,9k+1,...9k+8.
Deducem ca singurul numar natural abc care verifica conditiile problemei este 243 si valoarea expresiei este 61, adica numar prim.