Question

Aratati ca daca n este numarul nenul impar, atunci numarul p este natural, unde:

p = ( 1 +$\frac{1}{2}$ )x ( 1+$\frac{1}{3}$ )x ( 1+ 1/4) x ........ x ( 1 + 1/n)

Answer 1

Pentru formula termenului general: 1 + 1/n, aducem la acelasi numitor:
n/n + 1/n = (n + 1)/n. Aplicam acest lucru pentru toti termenii:

[tex]P=( \frac{2}{2} + \frac{1}{2} )( \frac{3}{3} + \frac{1}{3} )( \frac{4}{4} + \frac{1}{4} )...( \frac{n}{n} + \frac{1}{n} )\\ P= \frac{3}{2} * \frac{4}{3} * \frac{5}{4} *...\frac{n}{n-1}* \frac{n+1}{n} [/tex]

Dupa cum observi, in inmultirea fractiilor se simplifica termenii: 3 cu 3, 4 cu 4, si tot asa pana la n. Ne raman 2 si n + 1


$P= \frac{n+1}{2}$

Ca produsul sa fie un numar natural, n + 1 trebuie sa fie divizibil cu 2 ==> n+1 este par ==> n este impar