Question

Aratati ca daca un nr nat are un nr impar de divizori, atunci el este patrat perfect.

Answer 1

$Un \ numar \ natural \ n \ se \ descompune \ in \ factori \ primi \ astfel:\\ \\ n=x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot x_3^{a_3}\cdot ...\cdot x_k^{a_k}\\ \\ Unde \ x_1, \ x_2, \ ... \ , \ x_k \ sunt \ numere \ naturale \ prime. \\ \\ Iar \ a_1, \ a_2, \ a_3, \ ... \ , \ a_k \ sunt \ numere \ naturale \ nenule\\ \\ card(D_n)=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdot ... \cdot (a_k+1)$

$Un \ numar \ natural \ care \ are \ exact \ 3 \ divizori \ are \ card(D)=3\\ \\ OBS: \ 3 \ se \ poate \ scrie \ doar \ ca \ 3\cdot 1\\ \\ card(D_n)=3=(2+1) \Rightarrow n=x_1^2, \ deci \ e \ patrat \ perfect.\\ \\ Sau, invers:\\ \\ Fie \ n \ un \ numar \ natural \ patrat \ perfect. \\ \\ Atunci \ n=x_1^2, \Rightarrow card(D_n)=(2+1)=3.\\ \\ Deci \ un \ nr \ natural \ patrat \ perfect \ are \ 3 \ divizori$