Question

Arătaţi că dacă un număr natural are un număr impar de divizori atunci el este un pătrat perfect

Answer 1

Sa notam numarul nostru cu A, si fie descompunerea sa in factori primi:

$A=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot\ldots\cdot p_{k}^{n_k}$

Atunci numarul divizorilor lui A este

$N_{divA}=(n_1+1)(n_2+1)\ldots(n_k+1)$ si pentru ca este impar, inseamna ca toate parantezele sunt impare, deci toti exponentii sunt numere pare. Atunci A poate fi scris astfel:

$A=\left(p_1^{\frac{n_1}{2}}\cdot p_2^{\frac{n_2}{2}}\cdot\ldots\cdot p_k^{\frac{n_k}{2}}\right)^2$