Question

aratati ca daca un numar natural are un numar impar de divizori, atunci el este patrat perfect​

Answer 1

Răspuns:

orice număr natural care are un număr impar de divizori este pătrat perfect

Explicație pas cu pas:

Teorema fundamentală a aritmeticii: orice număr întreg poate fi exprimat în mod unic ca produs de numere prime

Orice număr se descompune în factori primi și poate fi scris sub forma:

$A = p_{1}^{n_{1}} \cdot p_{2}^{n_{2}} \cdot ... \cdot p_{k}^{n_{k}}, k \in N, k > 0$

Numărul divizorilor oricărui număr este determinat de formula:

$N_{divizoriA} = (n_{1} + 1) \cdot (n_{2} + 1) \cdot ... \cdot (n_{k} + 1)$

Dacă N este impar, atunci nicio paranteză nu este pară, adică toate parantezele sunt impare:

$daca \ \ (n_{k} + 1) \ este \ \ impar \implies n_{k} - \ este \ par$

Atunci putem scrie numărul A:

$A = {\Big(p_{1}^{ \frac{n_{1}}{2} }\Big)}^{2} \cdot {\Big(p_{2}^{ \frac{n_{2}}{2} }\Big)}^{2} \cdot ... \cdot {\Big(p_{k}^{ \frac{n_{k}}{2} }\Big)}^{2}\\ = \red {\bf {\Big(p_{1}^{ \frac{n_{1}}{2} } \cdot p_{2}^{ \frac{n_{2}}{2} } \cdot ... \cdot p_{k}^{ \frac{n_{k}}{2} }\Big)}^{2}}$

$\implies \bf A \ \ este \ \ patrat \ \ perfect$

q.e.d.