Question

aratati ca daca : x/y + x+1/y+1 + x+2/y+2 +...+ x+2011/y+2011=2012 atunci x=y

Answer 1

$\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y + 1} + \frac{x+2}{y+2} + ... + \frac{x + 2011}{y + 2011} = 2012 \\\text{Presupunem ca x > y , deci \frac{x+a}{y+a} > 1 pentru orice a \geq 0 , de aici avem:}$

$\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y+1} + ... + \frac{x + 2011}{y + 2011} = 2012 > 1 + 1 + 1 ... + 1 = 2012 \iff 2012 > 2012$

Deci avem o contradicție.

$\text{Pentru cel de-al doilea caz presupunem ca x < y \implies \frac{x+a}{y + a} < 1 pentru oricare a \geq 0 }$

Atunci $\frac{x}{y} + \frac{x+1}{y + 1} + ... + \frac{x+2011}{y+2011} = 2012 < 1 + 1 + 1 + ... 1 = 2012 \iff 2012 < 2012$

Avem, din nou, o contradicție și știm că x nu e mai mare sau mai mic ca y, deci x = y.