Question

Aratati ca dintre 1003 numere care impartite la 20055 dau restul un numar natural impar,exista cel putin doua numere a caror diferennta see impartee exact la 2005

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Resturi impare la împărțirea la 2005 sunt: 1,3,5,7,...,2003, deoarece rest<împărțitor

numărul de resturi impare diferite:  (2003-1):2+1=1002.

Deci, dacă ar fi toate 1002 numere diferite vom obține 1002 resturi impare diferite.  Atunci, al 1003-lea număr va avea un rest egal cu unul din cele 1002 resturi.

Atunci perechea convinabilă de numere a, b unde a>b (cu resturi impare egale), se poate scrie:

a=2005·c1+r, iar b=2005·c2+r. Atunci (a-b)=2005·(c1-c2), deci

a-b se divide cu 2005.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

resturile posibile ale impartirii unui numar la 2005 sunt 1, 2,3,..., 2004

resturile impare sunt 1, 3, 5,...., 2003

sunt 1002 resturi impare, deci daca sunt 1003 numere, inseamna ca cel putin doua dau acelasi rest.

Deimpartit = Impartitor x Cat + Rest

x = 2005C1 + R

y = 2005C2 + R

x - y = 2005C1 + R - 2005C2 - R = 2005C1 - 2005C2 = 2005(C1 - C2) este multiplu de 2005, deci se imparte exact la 2005.