Question

Aratati ca ecuatia $sinx-xcosx=0$ are o singura solutie in intervalul [-π/2,π/2]

Answer 1

Se foloseşte şirul lui Rolle...

$f:[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2}]->R$

$f_{(x)}=sinx-xcosx$

$f'_{(x)}=xsinx$
$f'_{(x)}=0<=>xsinx=0$

$x_1=0 \\ x_2=pi$ 

Sunt o infinitate de soluţii, pentru n*pi, dar doar x1 aparţine intervalului.

$lim_{_{x->-\frac{ \pi }{2}}}f_{(x)}=-1$

$lim_{_{x->\frac{ \pi }{2}}}f_{(x)}=1$

Acum trebuie făcut tabelul (pe care ţi l-am lăsat în ataşament). Din el se observă că pe intervalul $[ -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2}]$ există doar o singură schimbare de semn, ceea ce înseamnă că acolo este doar o rădăcină reală (qed).