Question

Aratati ca ecuatia x^n+nx=1 are o singura radacina pozitiva.

Answer 1

pt n=1
x+x=1
2x=1
x=1/2>0


pt n≥2
fie polinomul
f(x) =x^n+nx-1
acesta are
pt n=2k+1. adica impar, doar  o radacina reala  ***************
cu algebra
suma radacinilor este 0 , pt.ca ..Viete,  coeficientul lui x^ (n-1) este 0
produsul radacinilor complexe este pozitiv (produs de modulede nr complexe conjugate)
iar produsul tuturor radacinilor este -(-1)/1=1 >0 deci si radacina reala este pozitiva
sau mai simplu, cu analiza matematica,vezi grafic de pe pagina 2, unde, pt g(x) =x^n+nx, se vede ca g(0)=0

pt n=2k, avem 2 radacini reale***************

studiind monotonia functiei g(x) =x^2k+2kx, obserravam c aare un minim 1-2k<1 pt x=-1si scade de la -∞ la 1-2k, apoi creste de l;a 1-2k la ∞
deci va intersecta o paralela la axa ox, deecuatie y=1 o data la descrestere (o radacina reala) si odata la crestere,( a doua radacina reala)  cu obs ca g(0)=0, deci intersectia cu y=1 va avea loc pt o valoare>0
vezi atasament



Obs
****************
De ce avem o radacina reala pt n impar si 2 rad reale, pt n par??
iat de ce :

ptn=2k+1
x^n crescatoare
nx crescatoare
x^n+nx crescatoare, injectiva, ia o singura dat valoarea 1
o singura radacina reala

pt n=2k

fie g(x) =x^2k +2kx
g'(x) =2kx^(2k-1) +2k
se anuleaz la x=(-2k/2k)^ (1/2k-1)= (-1)^(2k-1)=-1
 va avea un minim egal; cu
g(-1)=(-1)^2k+2k*(-1)=1-2k

pt k=1; 2;3... minimul va fi -1;-3;-5;-7...<1 si va avea 2 radacini reale

deex
x²+2x=1 va avea 2 radacini pt ca f(x) =x²+2x va avea un minim in f(-1)=-1<1
deci 2 radacini reale