Question

Aratati ca ecuatiile a₁x²+b₁x+c₁=0 si a₂x²+b₂x+c₂=0 (a₁a₂≠0) sunt echivalente daca si numai daca: (a₁ supra a₂)=(b₁ supra b₂)=(c₁ supra c₂) cu conventia de anulare a numitorilor.
Va rog mult de tot .dau coroana

Answer 1

Doua ecuatii sunt echivalente daca si numai daca au aceleasi solutii reale la acea ecuatie. Pentru a demonstra relatia din enunt, este mai bine sa deducem 2 ecuatii care privesc radacinile de gradul II
Pentru ecuatia de gradul doi
$ax^{2}+bx+c=0$ cu radacinile x1,x2 avem
Relatia 1)
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
Relatia 2)
$x_{1}*x_{2}=\frac{c}{a}$
Stim din gimnaziu care sunt solutiile ecuatiei de gradul 2
$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
unde
$\Delta=b^{2}-4ac$
Atunci, daca adunam cele 2 radacini avem
$x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
Acum, sa o demonstram si pe a doua
$x_(1)*x_{2}=\frac{-(b+\sqrt{\Delta})*(-1)(b-\sqrt{\Delta})}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$
Acestea demonstrate, este clar ca daca perechile de rezultate de la cele 2 ecuatii sunt corecte, atunci si relatiile acestea vor fi egale. Deci vom avea:
$x_{11}+x_{12}=x_{21}+x_{22}\Rightarrow -\frac{b1}{a1}=-\frac{b2}{a2}\Rightarrow \frac{a1}{a2}=\frac{b1}{b2}$(1)
Punem aceeasi conditie de egalitate si pentru produsele lor
$x_{11}*x_{12}=x_{21}*x_{22}\Rightarrow \frac{c1}{a1}=\frac{c2}{a2}\Rightarrow \frac{a1}{a2}=\frac{c1}{c2}$(2)
Dar din cele 2 relatii:
$\frac{a1}{a2}=\frac{b1}{b2}=\frac{c1}{c2}$