Question

aratati ca este numar rational
$\sqrt{5} + \sqrt{7}$

Answer 1

Consideram prin absurd ca √5 +√7∈Q <=> √5∈Q si √7∈Q .

Daca √5∈Q => √5=m/n unde m,n∈N\{0} si (m;n)=1 => 5=m² /n² <=> m²=5n² dar 5/5 <=> 5/5n² <=> 5/m² <=> 5/m => m=5k ,unde k∈N\{0} <=> (5k)²=5n² <=> 25k²=5n² <=> 5k²=n² => 5/n² <=> 5/n => (m;n)=5=1 ,ceea ce este o contradictie => √5∉Q . Analog se face pentru √7 de unde in final obtinem ca √5 +√7∈R\Q (suma a 2 numere irationale pozitive este un numar irational) .